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fait À = B q , on aura 



en fubffituarit, B>' p -+- QB< ~ ' dB -+- RB* ~ ' dB\_ 

 divifant par (B F p) -H QB'-'-'dB -+- R B*~ p -'dB\— °' 

 équation qui n'a B ±=z o pour racine, qu'à caufe de B p ; or, on 

 lait que ces facteurs ne fervent pas à refondre les Problèmes. 



La féconde obfervation eft que le Problème des Tauto- 

 chrones & tous ceux de cette elpèce , fe trouvent re'duils 

 facilement à des équations aux différences partielles : en 

 effet, ils font des cas particuliers de ce Problème général; 

 étant donné un nombre m d'équations aux différences ordinaires 

 ou partielles entre m —f- n variables , & fâchant de plus qu'une 

 de ces variables doit être égale à une fonâion arbitraire d'une 

 fonâion donnée d'autres variables ; trouver l'équation aux diffé- 

 rences partielles qui doit déterminer chacune des variables; on voit 

 que le nombre des différences partielles & celui des variables , 

 doivent être tels que les équations définitives foient poffibles. 



Ma dernière obfervation fera fur la forme fuppofée ci-defîlis 

 aux intégrales des équations linéaires & où toutes les arbi- 

 traires font fuppofées entrer d'une manière linéaire. Cette 

 fuppofition eft générale ; en effet, fi on appelle <p, <p' , <p" , ckc. ces 

 arbitraires, nous aurons la propofée en comparant les équations 

 z = V <p -+- V <p' -+- V" <p" 



i = k<p -+- K'v' -+- V"<P" 



z' — k<p -+- K,'V -+■ V'v" 



On voit qu'ici £, z' , 1" ne font pas fuppofées contenir 

 chacun tous les <p, 8c que z', z" repréfentent des valeurs de z 

 répondantes à x — \- dx & y , à .y & «à y — f- dy , &c. Si 

 donc on veut faire difparoître les <p, <p', ç" , &c. on voit 

 que i'on ne peut le faire, l'équation en 1 refiant linéaire, 

 à moins , ou que les <p ne foient indépendans les uns des 

 autres, ou que s'ils font dépendans les uns des autres, ijs 

 foient donnés entr'eux par une équation linéaire; donc, la 

 fuppofition ci-deffus eft générale, & il en fera de même pour 

 toutes les efpèces d'équations linéaires. 



