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Cela pofé, fi l'équation n'eft pas aux différences partielles, 

 puifque l'on a dans le même temps di)x zzz o & dùy z=z o, 

 il en réfulte y z=i Nx -j— N' ; mais dans le cas des diffé- 

 rences partielles, foit infiniment petites, foit finies, comme 

 «).v & oy , quoique tous deux conftans, ne font pas fuppofés 

 avoir lieu dans la même hypothèfè, il n'en réfulte entre ces 

 quantités aucune équation. 



I V. Maintenant je vais chercher quelle doit être la forme 

 de nos équations différentielles partielles aux différences 

 finies. Je diftingue d'abord en trois claffes les quantités que 

 la différenciation peut faire difparoître ; 1." les fonctions 

 arbitraires; 2. ° les fondions tranfcendantes ; 3." les fondions 

 indéfinies. 



V. On trouve pour les fondions arbitraires , 1 ,° que 



/Ax _ fAy - 



pourvu que e =z 1 oc e rzr 1 , toute fondion 



/* f'y 



as. e & de e affujettie aux loix que j'ai affignées dans 



les Mémoires de lyyi , reffera la même dans Z z=z o, 



ù!Z = o, A,Z ±± o, A'A'Z — o, A'A y Z ±= o, 



A : Z r= o , &c. & qu'ainfi l'intégrale contiendra toujours 



un nombre de ces fondions égal à celui des équations qui 



ont produit .la propofée diminuée de l'unité. 



2." Soit Fay -H bx, il eft ailé de voir que fi amAy 



'-+- bnAx eft égal à zéro, m & n étant des nombres entiers, 



fa fondion Fay -f- bx reliera la même dans Z"""„, dans 



Z""j" m : & en général, foit Fay -+- bx, telle que a ni A y 



H— ù/iAx =zz apAy — j— baAx, il arrivera que cette 



fondion fera la même dans Z""" & dans Z""!. 



VI. De-là on déduira les différentes fondions qui peuvent 

 le trouver dans une équation aux différences finies partielles, 

 de l'elpèce de celle dont nous nous occupons ici. Suppofons, 

 par exemple, que la propofée ne contienne que trois Z; 

 fivoir, Z, Z" m , Z%, nous pourrons fuppofer que Z contienne 

 Fay -+- bx; les coëfficiens de la fondion F étant de* 



fondions de e , e , tels que e * s±z e* J ' - = it 



