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que la valeur générale qui y fatisfait foit / -+- £, g -+- u, 

 nous aurons 



fAx — gAy -+- Z Ax — uA y = l 7/ 



Ax gAy ■=. 1 — — par l'hypothèfe; donc 



£ A x z=z u Ay ; donc la valeur générale de Z fera 



fx-*-gy ,my-\-nx , nfy -+- rix . 



e x (e —\— a e / 



où les m & les n font tels que mAy zzz nAx; donc cette 

 férié pourra être fuppoiée égale à Fin y -+- nx.ef* ~*~ êJf , 

 Si V n'avoit pas été une confiante, on auroit eu toujours 

 a Z' —h- b Z, zzz V , Si. faiiant difparoitre les termes 

 variables de V, une féiie 



A(aZ' -t-l>ZJ-t- B(aZ' -+-bZJl-t-C(aZ' -+-IZJ',, &c. = Oî 

 & en faifant la fubflitution en fériés 



A (J** -+- be shy ) 



B(ae fA * -+- i/^/ A '+« A ^ 



„. fAx , gAy, sfAx+rgAy . 



C(ae -+- oe Je , &c. z=. o; 



Se par conféquent la folution en fériés, donnera encore 

 ef* ■*" SJf Fin y -f- n x. Donc , en général , toute équation 



fAx j gAy ijAx . gAy 



ae H— oe r= o , ou ae -+- oe — o, 



qui réfolvera l'équation en g, donnera une fonction iirbitraire 

 (F m y -+- nx) eJ*~*~ £JI ou m A y — uAx, ou bien 

 TtipAy = nqAx, au lieu d'une férié infinie de termes 



f ; donc, toutes les fois que l'équation en e & 



e n'aura que de pareilles racines , on aura l'intégrale 



propofée fous une forme finie; ce qui s'accorde exactement 

 avec ce que nous avons dit ci-deffus pour les équations aux 

 difîéienc s partielles infiniment petites. 



XII 1. Soit encore l'équation linéaire 



aZ -+- bZ' -+- cZ, -t- eZ", &c. = o, 



