54 Mémoires de l'Académie Royale 



& que nous falTions 



l =z (Ay m -+- Bf-'x.... -+- Qx m -f- Ay m -r 



-H B'y" 1 -^... -+- Q'x" 1 -'... -f- Qjer + 's, 



nous aurons i.° pour déterminer ef8i. é , la même équation 



que fi la quantité exponentielle avoit un coefficient confiant; 



2. nous aurons, appelant V le coefficient de e g> , Ja 



même férié de termes e "f Ax ■+■ m £ A > x — — nAx -\ — — rnAy; 



Ox oy ' 



c'eft-à-dire , la fomme des termes de cette équation, multi- 

 pliés fucceffivement par les expofans de et & e s ', c'eft-à-dire 

 cette équation ayant deux racines égales. 3. Nous aurons 



i * 1 • r> liV » * * nv 



les mêmes termes multiplies par — — j- n Ax 



Ay Axmn -\ r-r- m~ Af, c'eft-à-dire l'équation confidérée 



par rapporta ef Se à.e s , ayant trois racines égales, &ainfi de 

 fuite, eu il eft eflêntiel d'obferver que c'eft par rapport à 

 ef ou é, & non par rapport à. fou g, que les racines font 

 égales. On voit que les équations dont je traite ici, ont un 

 rapport exaél pour cet objet avec les équations linéaires 

 aux différences infiniment petites & finies " ordinaires : on 

 reconnoîtra par ce moyen les cas où Ja folution en fériés 

 devra contenir des fondions en x <ky non exponentielles. 



XIV. Je n'ai point parlé ici du cas où l'équation en Z 

 eft intégrable fucceffivement, par rapport à x & à y, ce cas 

 qui renferme celui où l'on a Z -+- a Z'... -f- q Z," m -zzz o, aucun 

 des termes Z, r qui précèdent Z^ne contenant ni r> n, nif> m; 

 ce cas, dis-je, fe réfout par le calcul des différences finies 

 ordinaires ; c'eft celui où Z eft égal au terme général d'une férié 

 récurrente dont la fonction génératrice a pour dénominateur 

 une fonction de ,v & de y. Or on voit que dans ce cas, regar- 

 dant la férié comme ordonnée par rapport à x feulement; on 

 trouvera en y i'expreffion du terme général, c'eft-à-dire du 

 coefficient de x n , & on cherchera enfuite dans cette fonction 

 de^, la valeur du coefficient de y", & on aura ainfi la valeur 



