5 8 Mémoires de l'Académie Royale 



de fondions arbitraires que dans les cas fuivans; i.° û dans 



Fe , e z=z i, les différentes valeurs de A.v, a, b, c, &c. 

 font telles que cf r= i , eft = i , f/ ( — i , &c. ce qui 

 donne ou f = o ou tous les a , b, c, &c. en progreffion 

 arithmétique; z.° cela a iieu encore lorfque la propofée eft 

 de la forme 



(AZ-±-BZ')-+-A' (AZ-+-BZ') 1 ' -^B' (AZ-+- BZ')'", &c. 

 En effet, il eft clair que dans la fonction AZ — \- BZ' , 

 il a pu difparoître une fonction arbitraire qui fe trouvoit 

 dans Z ; mais pour ce fécond cas , il faut que la propofée 

 contienne £, £ , z", tf" , £ v , &c. ces i étant pris pour 

 x, x — \— a, x -+- b, x -f- a — f— b, x -+- c, x -+- a -+- c, &c. 



6 fi, par exemple, la propofée contenoit des termes pris pour 

 .y, x —f- a, x -+- b, x -+- a -\— b, x -+- nb, x — f— a — (— nb, 

 X — f- c, x -+- a -+- c, x -f- b -+- c, x — f- a -+- h -\- c, 



x -+- nb -\— c, x —f— a -+- nb -+- c; 



on voit que l'on auroit encore une arbitraire qui auroit pu 

 difparoître parla même raifon; mais ces derniers cas rentrent 

 dans celui où l'on peut employer les folutions fucceflïves. 

 Au refte, û l'on veut s'alfurer du nombre d'arbitraires que 

 chaque équation propofée contient réellement dans fon inté- 

 grale , il fera aifé , par une méthode femblable à celle de 

 X article //ci-deffus. En effet, fuppofons £ égal à une férié 

 de x, y , ou ef^~ e> comme on voudra, on n'a qu'à fup- 

 pofèr les coëfficiens égaux à des fonctions de ef, telles que 

 ou ei a , ou ef b , ou er, &c. = i ; & il y aura autant de 

 fonctions arbitraires qu'il reftera de coëfîkiens indéterminés 

 dans cette férié. 



III. Quant aux fonctions tranfcendantes , i.° pour les 

 tranfcendantes fimples , il eft aifé de voir que l'on pourra 

 faire difparoître autant de ef qu'il y a de j moins un 

 dans l'équation ; 2° Si. que pour les tranfcendantes de 



la forme e , la comparaifon de deux équations 



