DES SCIENCES. g t 



ARTICLE XI. 



Sur la nature des différentes efpkes d'intégrales , ér /« 

 manière de les trouver en fériés ou par approximation. 

 I. Du Mémoire fur les Quadratures , inféré dans le 

 Volume de 1.77.1, il rtiulte qu 'i( n 'eft pas prouvé en général 

 que toute équation A <> x +_ Bd, - o, devienne une 

 différentielle exacte étant multipliée par une fonction finie. 

 La même choie aura lieu pour des ordres plus élevés; il fait 

 donc divifer les équations différentielles en plufieurs clalfes 

 & ceit ce que nous allons faire dans cet article. 



Des Equations du premier ordre. 

 i.° Soit une équation rationnelle A d x -f- B d y il 

 peut arriva -ou qu'un fadeur fini F, donné par l'équation 

 * . — ' K ^ tant rati °nnel & algébrique, & n un nombre 

 rationnel, puiffe rendre Adx -+- Bdy différentielle exaéte- 

 dans ce cas, on cherchera l'intégrale finie par la méthode' 

 expofce dans les Mémoires de Iy7I , & on fa trouvera 

 toutes les fois q u elle fera poffible. 



II. Si cela ne peut arriver, on examinera fi la propofée ne 

 peut devenir une différentielle exacle; i.° en la multipliant 

 par e V , V & V étant algébriques & finis ; 2 .° en la multi- 

 pliant nar *' "*" X ' ,y ~*~ x " ->*> &c - 1 - n • 

 r v X +. X', y -+_ x»y , & c .~' Ja lcne n ctant " nie q"e 



par rapport à y: on prouvera également dans ces deux cas 

 quelle nombre des équations furpalfera toujours en général 

 ceui des coefficiens; ce qui donne encore un troifième cas 

 celui ou le fadeur ne peut être regardé comme fini. 

 v 111. Dans le cas où le fadeur ferait fini, & de la forme 

 ' V ,on cherchera fi l'on peut avoir fe v V Adx -+- Bdy 

 en termes finis, linon il formera une claffe à part; mais s'il 

 admet une intégrale en termes finis, alors il retombe dans 

 le cas du N. 1. 



Dans le cas où le facteur eft fini en y , & infini en v 

 on voit d abord que l'on aura l'intégrale y fous une forme 

 rime , en fuppofant les coefficiens de x donnés. Maintenant 



