7$ Mémoires de l'Académie Royale 



rationnelle fractionnaire peut être mile fous la forme. . , 



ax m ~ x -\- bx" ~ x . . . .-\- p r . r ri' 



i — — - ; or on lait que cette fraction 



x" -+■ ctx™ — ' ■+■ Px" - ' -+- / l 



peut être mile ious la forme 1 ( , &c. 



r * -+- q x-t-r x-t-s 



iorfque toutes les racines du dénominateur font inégales. 



Cherchant donc à intégrer , jai 



«n A A A . A s 



x -f- q *-•-? — & x x-t-q — :ui x-Y-q — 2A* 



A 



& ainfi de fuite avec un relie ztz 2 : , ou 



* -t- q — « A * 



bien i aurai S z=z r— 



' x -t- » x -\- q * -t- y -t- 2A* 



A A 



-t- — - avec un relie zîz S : — ; 



j + j + iii » + j + «Aj 



donc s'il n'y a point d'autre dénominateur de la forme 

 x -+- q z+z «A v, la fonction propofée ne fera pas intégrable 

 en termes finis; s'il y en a, alors foit le dénominateur le 

 plus grand x -+- q -4- //A.v, & x -+- q — ri'Ax le plus 



A' 



petif, l'intégrale ne pourra être que — _ ■ 



B' c P' 



-H -... ,, — -TTZ 1- 



x-Y-q — (n' — \) Ax x-*-q-\-(rf — ij A* * -t- q -+■ (n — \) A**' 



la différenciant donc pour comparer avec la propofée 

 A B P 



X -t- q — n' Ax X -+- q — fa' — iJAx X -+- q -+- n A * ' 



j'aurai A = — A'. B = — A' — B 1 ', B — B' 

 — C Ainfi il y aura n -t— «' — (— i équations entre 

 ces coëfficiens, & feulement n -f- »' coëfficiens indéter- 

 minés; donc dans ce cas il y aura toujours une condition 

 pour que la propofée foit intégrable en termes finis. 



II. En général, dans ce cas, on a l'intégrale égale à une 



p 

 férié finie, plus ou moins un terme 2 t — où / > eft 



1 x-*-q-\-nAx 



égal à zéro toutes les fois qu'il exifte une intégrale en 

 termes finis. 



