des Sciences yg 



Si l'on a une fonction dont le dénominateur ah des 



racines égales, alors on le peut fuppofèr de la forme 



i~i — , &c. & l'on trouvera que 



^ (x -+- 1) ^ 



2 B — —A ^__ &c 



"* (x + q)' (X + q-Ax/ (x + q—zAxJ' ' °""* 



& la même conclufion que ci-deffiis. Donc on conclura en 

 général que l'on n'aura une. intégrale finie que lorfqu'il n'y 

 aura aucune racine qui n'ait une autre racine ou plufieurs 

 autres racines différant d'elle d'un multiple de la différence 

 finie, & qu'il faudra de plus autant de conditions entre les 

 cofcfficiens du numérateur, qu'il y aura de fyftèmes de ces 

 racines tant égales qu'inégales. 



On voit arïèz que lorfque ces conditions feront remplies, 

 on aura l'intégrale finie , mais la condition que l'intégrale 

 finie foit impoflîble, lorfque ces conditions manquent, peut 

 paroître moins évidente. 



III. Pour le prouver , confidérons la fonction fnnple 



A 

 • , il eft aifé de voir que fon intégrale ne contiendra 



ni radicaux ni logarithmes, ni exponentielles; donc elle fera 

 rationnelle, donc elle fera de la forme 



r A-HB.x -+- Cx\8cc. -+- -^— -+- J-, -+- -?—, &c. 



x -\- a x-\-b x -+- c 



le nombre de ces fonctions étant fini ; mais il eft aifé de 

 voir qu'augmentant dans cette intégrale hypothétique x de 

 la quantité Ax, & retranchant, elle fera de la forme 



G -H Hx H- &c. H ^— ~, &c. 



* -t- a -»- A* x -\- a 



fonction indéfinie qui ne peut devenir . 



Je n'appelle ici, comme dans le refte de ce Mémoire, 

 fonctions en termes finis , que les fonctions algébriques , 

 logarithmiques & exponentielles ; parce que ce font les feules 

 fbn&ions analytiques qui puitfènt être produites par les ope- 



