82 Mémoires de l'Académie Royale 

 différentielle fera de ia forme A' -+- B' i -+- C i' * . . . 

 H- P' z " n -' — A — B Z — Ct-..— Pf-\ 

 où A' , B' , C , &c. font ce que deviennent les fonctions 

 rationnelles A, B, C, lorfque pour x on y a mis x -+- Ax , 

 & où £ eft ce que devient i après la même fubftitution , 

 1 étant donnée par une équation du degré m. Maintenant 

 la différentielle propofée étant donnée par une équation du 

 degré n, & la forme ci-deffus produifant une équation du 

 degré zm, il faudrait d'abord que «^ 2. m, & eniuite quand 

 cela auroit lieu , que les coë'fficiens fuffent les mêmes. Or 

 cette hypothèfe donne un plus grand nombre d'équations que 

 ia forme hypothétique de l'intégrale ne fournit de coëfficiens 

 indéterminés ; d'où il eft clair que l'intégrale ne peut être 

 fuppofée finie en général, pas même en laiffant un terme 

 rationnel indéfini à intégrer. 



VII. Si maintenant on cherche à la réduire en férié, on 

 l'aura en employant les deux mêmes manières que ci-deffus. 

 Nous aurons donc deux formes d'intégrales en férié, la 

 première , celle de M. Euler , qui , û l'on cherche une valeur 

 approchée, en donnera toujours une, fi x eft très-grand. En 

 effet , dans dX on peut toujours prendre // tel que la plus haute 

 puiffance de x foit négative; enfuite nous aurons la féconde 

 férié , que nous pouvons mettre ici fous la forme X, étant 



ia différence X -+- X' — X" -+- X" , &c. où 



X' , X" , X" , &c. font ce que devient X en y mettant 

 x —f- A.v, a - -+- 2 A x, &c. férié qui fera convergente 

 lorfque x eft très -petit, wA.v fort grand, & que ie déno- 

 minateur des fonctions X' , X" , &c. contiendra une puif- 

 fance de A.v plus grande que le numérateur. Enfin, fi nous 



examinons la férié X zzz Ax7 -+- — '■ — , Sec. nous 



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aurons en général pour fef* Xdx, une fonction finie algé- 

 brique ei x A, plus une fonction rationnelle en x, qui ne 

 contiendra pas d'irrationnelle, & par conféquent , comme on 

 peut trouver cette fondion finie, /étant quelconque, nous 



