84 Mémoires de l'Académie Royale 

 lorfque les quantités fous ce (igné font réelles , la fonction 

 logarithmique n'a qu'une valeur réelle, & que lorfque ces 

 quantités font imaginaires, & que la fonction logarithmique 

 devient un angle , le nombre infini des valeurs réelles fe 

 confond avec l'arbitraire , on peut regarder cette forme 

 comme vraie. En effet, on aura toujours, par la conftruc- 

 tion ci-deflus , tous les points déterminés pour toute la 

 férié des points différens de la quantité Ax, & le refte indé- 

 terminé; <Sc fi l'on a la fonction en ef* déterminée d'ailleurs, 

 alors la valeur de l'arc qu'il faudra prendre fe déterminera 

 avec la confiante, comme dans les équations aux différences 

 ordinaires ; 8c fi x étoit un finus ou cofuius , il faudroit 

 feulement oblerver qu'ici l'arc doit revenir le même, lorfque 

 fon finus redevient le même. 



ARTICLE XIII. 

 Sur les Séries récurrentes. 



Je me propofe de donner dans cet article un moyen, 

 lorfqu'une quantité quelconque eft donnée par une équation, 

 de lavoir s'il n'y a point une valeur de cette quantité égale 

 à une férié récurrente; c'eft-à-dire fi elle n'efi pas fufceptible 

 d'avoir une valeur algébrique & rationnelle. 



On voit affez , par tout ce qui a été dit ci-deflus , combien 

 cette recherche peut être utile. En effet, puifqu'on connoît 

 les formes dont eft fufceptible l'intégrale d'une équation 

 différentielle-, on pourra parvenir par la méthode de cet 

 article , à diftinguer pour chaque équation donnée , fi elle 

 eft fufceptible ou non d'une intégrale finie ; & comme on 

 fait trouver (Mémoires de iyyo , & tome IV des Mém. 

 de Turin) cette intégrale toutes les fois qu'elle eft poffible ; 

 on voit que l'on aura tout ce qu'on pourroit délirer fur la 

 théorie de celles de ces équations qui font fufceptibles d'avoir 

 des intégrales finies. 



I. Si la férié récurrente , rationnelle & algébrique n'a 

 qu'une variable x, & qu'elle foit de la forme 

 a -+- ùx -+- ex* . . . -+- (n — 1) ,v" Z ' -+- (n) x" . . ., 



