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II eft aîfé de voir que l'on aura 



(n) H- a' (n \) -\- b' (n %).... 



Ce nombre de termes étant détermine'; donc, ii on regarde 

 (n) comme une variable , & n comme la quantité dont elle 

 eft fonction, on aura (n) H— a" A (n) -+- b" A 1 (n) . . . 



A'" (n) z= o, An = 1; faifant donc (n) zzz e-f" , on 



d b' d d' 



anra !_+___!_ ___ _h __ _+_ — - , &c . — o, 



ou e -+- a e H— e , occ. oc tirant de 



cette équation les valeurs de c f , & par conféquent de f, 

 que j'appelle /, /', f", f", &c. on aura (n) =z Ac f " 



— \~ Be -+- Ce Si f a deux valeurs égales, 



alors , au iieu de la forme précédente , il faut prendre (n) 



=z Ac-f" -+- Bne jn -\- Ce S" & ainfi de fuite. 



A, B ,C, &c. font des fonctions de e a " , telle que e"'~ I. 



IL Si donc on a une férié en x récurrente , lans favoir fi 

 elle eft algébrique ou rationnelle, mais que feulement on 

 ait fon terme général par une équation dépendante d'un 

 nombre fini & déterminé de termes précédens, & de fonc- 

 tion finies & déterminées de l'expofant n du terme général, 

 & qu'on demande fi on peut favoir quand elle peut être 

 algébrique & rationnelle , & quand elle ne le peut pas être , 

 j'obferve d'abord que toutes les fois qu'une équation eft 

 linéaire , quel que foit l'ordre de cette équation , on peut 

 toujours luppofèr fa racine égale à la fomme de toutes les 

 valeurs particulières qu'on lui a trouvées ; ainfi il s'agit de 

 trouver une valeur particulière pour connoître une forme 

 indéfinie , mais générale de l'inconnue : il eft donc ailé de 

 voir que fi on fait dans l'équation du terme général 

 (n—i)= (n) — A (n). (n — 2J = (n) — 2 A (n) -_ A A (n), 

 & qu'on mette pour (n), ef; on aura, fi e f" îéfout l'équation, 

 la férié égale, au moins dans un cas particulier, à une lérie 

 récurrente , rationnelle & algébrique , &. le nombre des 



