86 Mémoires de l'Académie Royale 

 valeurs égaies ou inégales de f, conduira à trouver la fonc- 

 tion rationnelle qui dans ce cas eft la valeur de la férié. 



III. Mais de ce que ef = (n) ne réfout pas l'équation, 

 doit- on en conclure que la propofée n'a point de valeur 

 rationnelle ou algébrique \ En effet , on peut objecter que 

 d'abord que (n) zz n" 1 —J— hn m ' . . . . -\- p eft une 

 valeur qui convient à une férié rationnelle & algébrique , 

 cependant (n) zzz ef ne réfout pas cette équation; mais 

 on voit aufîï que dans l'exemple propofe , & dans tous ceux 

 de cette efpèce, la valeur de (n) n'efl qu'un cas particulier 

 de la valeur générale, & dans l'exemple choifi, cette valeur 

 eft Aef (n m ~-\- bn m ~' . .), où tous les coëfficiens font 

 arbitraires , & on trouveroit f =z / 1 , e f zzr i , & m 

 racines égales. Ainfi , pour conclure de ce que la fuppofition 

 de (n) rrr £** ne réfout pas l'équation du terme général , & 

 que fa férié ne peut être algébrique rationnelle, il faut que 

 l'équation du terme général ait toute la généralité poffible. 

 Cette généralité confifte à ce que les coëfficiens de la première 

 forme générale donnée ci-deffùs foient reffés arbitraires. La 

 raifon en eft que dans ce cas où (n) ^r AcS" —\— Bni-f" , &c. 

 la fuppofition de (n) zzz. Ae-f" feulement ne réfout l'équa- 

 tion que parce que je puis faire les B, &c. égaux à zéro, 

 puilqu'ils font arbitraires; autrement il faut que ces termes 

 entrent dans la valeur de (n). Ainfi, toutes les fois que 

 l'équation qui donne v en x , fera telle que le terme général 

 de la férié qui y convient, ait (dans le cas où la férié eft 

 algébrique & rationnelle) les coëfficiens des ef arbitraires, 

 on trouvera la loi de cette férié rationnelle par la fubfti- 

 tution de Ae'f n au lieu de (n) dans le terme général. 



I V. Confidérons donc différentes formes d'équations en y, 

 & d'abord les équations linéaires. 



D'abord l'équation linéaire en y, Ay -\— B z=r o , eft 

 dans ce cas. 



2. L'équation linéaire Ay -+- Bdy -+- C zzz o, eft 

 encore dans le même cas. En effet, foit X une fonction 



