35^ Mémoires de l'Académie Royale 



Je fuppofe d'abord que l'intégrale complète foit connue; 

 foit C le facteur par lequel on doit multiplier dy — pdx, 

 pour rendre cette quantité une différence exacle, & p. zzr o, 

 une folution particulière de l'équation différentielle propofée; 



on aura Qd y ÇpJx =z d .<p (x,y) ; mais de ce que /* eff: 



fonclion de x & de y , on aura y — T . (x , fi); donc 

 d . <p(x, y) deviendra d . <p'(x, /jlJ. Partant 4- (x.fij -+- C , eff: 

 l'intégrale complète de l'équation dy z=z pdx, C étant une 

 confiante arbitraire : préfentement puifque l'équation (a, z=z o, 

 n'efl point une intégrale particulière, elle ne peut faire éva- 

 nouir, 4 (x , fjuj -+- C, quelque valeur que l'on donne à C; 

 donc elle ne peut faire évanouir fa différence, C (dy — p dx) ; 

 mais par la fuppofition elle rend nulle, dy — pdx; il faut 

 donc que l'équation /a = o, rende Q infini, & partant 



qu'elle faffe évanouir -^- ; donc tt eff fadeur de ~. Je 



dois obfèrver ici que M. le Marquis de Condorcet eff par- 

 venu à ce réfultat , mais par une autre méthode , (voyei fou 

 Calcul intégral). 



Maintenant fi l'on effâie parmi les fadeurs de -g-, ceux 



qui fatisfont à l'équation dy zzz pdx, & que l'on diffingue 

 ceux qui font des intégrales particulières d'avec ceux qui ne 

 ie font pas , on fera fur d'avoir toutes les folutions particu- 

 lières de cette équation différentielle. 11 ne s'agit donc que 

 de connoître la fonclion C; or, elle eff facile à conclure 

 de l'intégrale générale; car, foit T — C, cette intégrale, 



on aura en diflerentiant , Ldy Odx m o, ou 



Q.dy Cpdx zzz o. Donc, £ =zz L. On fait que £ 



a une infinité de valeurs, lefquelles peuvent être généralement 

 repréfentées par £.<p (T) ; mais on ne doit admettre que la 

 plus (impie Q de ces valeurs; car toutes les autres donneront 



pour folution , ou T -+- a := o , ou -— zzz o , 



q étant confiant ; or ces deux folutions font comprifes dans 



l'intégrais 



