j3'o Mémoires de l'Académie Royale 

 de x dans le numérateur , foit moindre que dans le déno- 

 minateur. 



Suppofons d'abord que la Jerie propofée foit récurrente 



du premier ordre , on aura dans ce cas , s = ; — ; 



1 a -t- b x 



donc, — rrr: ; zrr p -H— qx; d'où il s'enfuit que 



fi on divife l'unité par le polynôme s, en ordonnant, dans 

 l'opération, les termes fuivant les puifîânces de x, on trou- 

 vera néceffài rement un quotient fini de deux termes p —f— qx. 

 Suppofons enfuite que la férié propolée foit récurrente du 



"fécond ordre , on aura dans ce cas , s rr: ; — / 



a -+- l> x -t- r * 

 i i a -+-■£* -t-r** , j. . r , , 



donc , — zz=. ; ; Q u on civile le numérateur 



s a ■+- 6 x l 



trinôme a —h- bx — f- ex', par le dénominateur binôme 

 a' -+- U x, on aura un quotient binôme p -+- qx, & 



un refle a" x* ; donc , — := p -+- a x -+- — — ; d'où 



s l J a -+- ù 



je conclus d'abord que fi on divife l'unité par le polynôme s, 

 & qu'on poulie la divifion jufqu'à ce que l'on ait dans le 

 quotient, deux termes tels que p H— qx, ce qui ne 

 demande que deux opérations , on aura un refte qui fera 

 nécelîairement divifible par .y", & que je représenterai par 

 j'a z , s' étant une nouvelle férié de la forme 



V -+- V'x H- V"x -4- V" a- 5 h- &c. 





_ t s'x> 



Donc — z=z p -+- qx -+- • z=zp -+- qx -\ 



-par conséquent — err — — — , & de - là — r = 



E± p' -+- q'x. Donc, fi on divife le polynôme s par le 

 polynôme s 1 , on aura nécelîairement un quotient fini de deux 

 ■termes tels que p' — J- q' x. 



Suppofons que la fé-rie>propofée foit .récurrente du ttroîfième 



