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en aura trouvé la fra<5tion génératrice , fi elle en a une , il 



n'y aura qu'à y fubftituer — £- — à la place de a-, & fa 



tlivifer en même temps par 1 — x ; l'on aura fur le champ 

 la fraction génératrice même de la férié propofée. 



Si fa férié propofée efl purement algébrique de l'ordre 



« 1 , alors on fait que les différences de l'ordre n — 1 



doivent être confiantes, & par conféquent celles des ordres 

 fuivans nulles; en forte qu'on doit avoir dans ce cas, 

 A"./ 7 = o, A' + 'T — o, &c. or, c'eft auffi ce qui 

 réfulte de l'analyfe précédente; car dans ce cas la fraction 

 génératrice de la férié aura pour dénominateur (\ — x)" ; 

 & H efl facile de voir qu'en y faifant les fubftitutions & 

 les réductions indiquées pour avoir la fraction génératrice 

 de la férié des différences , cette dernière fraction ne contiendra 

 plus x à fon dénominateur; de forte qu'elle deviendra un 

 fimple polynôme du degré n — 1 ; d'où il s'enfuit que 

 les termes affectés de x", x"~*', &c. dans la férié des diffé- 

 rences, devront être nuls; ce qui donnera donc A". T sir o 

 A° + '.T=z o, &c. 



En général , fi la férié propofée T-\- T x -+- T" x' -+- &c. 

 qu'on fuppofè toujours de l'ordre n , contient une partie 

 purement algébrique de l'ordre m 1 , le dénomi- 

 nateur de fa fraction génératrice aura nécefîàirement pour 

 fadeur la puiffance (1 — x) m , laquelle s'évanouira par la 



fubftitution de f ^_ - à la place de x; en forte que la férié 



des différences fe trouvera rabaiffée d'elle - même à l'ordre 

 » - — m ; mais elle aura au commencement ;;/ , termes irré- 

 guliers , après lefquels elle deviendra régulière de l'ordre 

 // — m, comme on l'a expliqué ci-deffus (article 18). 



Ainfi, en rejetant les termes irréguliers T.A.T.x, 

 A 1 . T . x\ Sec. à! n ~'.T.x m -\ & divifant les autres 

 par x m , on aura la férié régulière, 

 A— "' . T-+- A"~ m ± • . T. x H- A x ' m+t . T. x* -+- &c. 



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