7'8 Mémoires de l'Académie Royale 

 fv'(Y z du~ -f- r'dX z -\- fdY*), peut donc être mile foui 



la forme fuivante, Jy A fY x du* -\- Y"dY~). On a donc pour 

 condition du Problème, d'après les méthodes de M. Euler, 



(i) Y* du — 4f(Y'du' <*• fdj* h- r'dY'J. 



Voici au furplus à quoi fe réduit la méthode de M. Euler, 

 dont on peut voir la démonftralion dans Ion Traité qui a pour 

 titre: Methodus inveniendi curvas maximi mïnimi vè proprietate 

 gaudentes. Soit 



ZdY une quantité quelconque, dans laquelle Z eft une fonction de 



du d' u 



Y, u , — -7-, - , ■ , &c. & de confiante. 

 d 1 dï 



Si l'on veut déterminer en général la courbe dans laquelle 

 f'LdY eil un maximum, il faut différencier la quantité Z par 



rapport à Y, u, —r-y, —t& Si., en regardant toujours dY 



comme confiant. Soit 



dZ — MJY-t- Ndu -+-PÉL + Q g h- R Ï!L _+_ & c . 



on aura pour équation de la courbe, 



., dP d'Q d' R 



N — ~dY~ -*~ -Jr 7W ;"+- &c - == °- 



Appliquons ces principes au cas dont il s'agit ; il ell aifé de 

 voir que f/ (Y 1 du 1 -h- Y"dY z J, peut fe mettre fous la forme 



fuivante, /^/f-^- -+- TV; donc Zz=Y(^+T); 



Y*d:i j> „ 



y. 



du' dY ' 



dYV/Y* ■ \-Y") 



dY' ' **.»(* dY' J 



Y'" étant une fonction de Y'' &. de confiante; donc, dans le 



Y' du 



Y' du' * 



àY^-^-^Y") 



cas dont il s'agit, N =. o ; P . 



