i6"8 Mémoires de l'Académie Royale 

 l'équation à cette perpendiculaire ; nous croyons cependant 

 que le Lecteur verra avec plaifir la manière de déterminer 

 directement l'équation à cette ligne, fans laire entrer dans 

 cette détermination la propriété dont il s'agit. 



( 1 08.) Pour y parvenir, nommons x , y, £ les trois coordon- 

 nées du point A de la furface du fphéroïde, rapportées à trois 

 axes perpendiculaires, & à une origine commune; les coordon- 

 nées au point B, auront pour expreffioiiAf -+- dx , y — |— dy, 

 1 -f- di; & fi l'on nomme dp le petit côté AB de la 

 courbe , on aura dp z~z Y (dx' — \— dy z -+- d^J. Si l'on 

 prolonge ce côté d'une quantité BC , égale à AB ; en pliant 

 ce prolongement fuivant la droite CD , perpendiculairement 

 à la iurlace, il eft vifible que Ton extrémité aboutira un peu 

 au-delà du point D ; de forte , que fi l'on nomme dp' le 

 côté BD , dp' fera moindre que dp; mais il eft facile de 

 s'affiner que la différence eft un infiniment petit du troisième 

 ordre; car en faifant CD z=z <t , il eft clair que <x eft un 

 infiniment petit du fécond ordre, puifque BC eft un infini- 

 ment petit du premier ordre, ainli que l'angle CBD. Do 

 plus, dp'* -+- a. z =z dp z , d'où l'on tire 



dp = Y(dp' 1 -H *V — d ?' H- f-^T./ 



or / eft un infiniment petit du troifième ordre. On 



aura donc, en négligeant cet infiniment petit, dp = dp' , 

 ce qui montre que dp doit être fuppofé confiant. 



Cela pofé , x , y , 1 étant les coordonnées au point A , Se 

 x -+- dx , y -+- dy, 1 -\- d^, étant celles du point B; 

 x H— zdx, v'— f- zdy,i -+- 2. d^, feront, par la nature 

 de la ligne droite, les coordonnées du point C , pris fur le 

 prolongement du côté AB. D'ailleurs, les coordonnées du 

 point D , pris fur le fphéroïde, feront x -4- rdx -+- ddx , 

 y -+- 2 dy — |— ddy , 1 — f— 2 d% -\- dd^. Si l'on retranche 

 ces coordonnées de celles du point C, on aura — ddx, 

 — ddy , — ddi, pour les coordonnées du point C, en 

 fixant leur origine au point D, 



