442. MÉMOIRES DE l'AcADÉMIE ROYALE 



R E C H E R C H E S 



SUR L'INTÉGRATION 



DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



Par M. Cousin. 

 Lu (i.) 1 ou TES les Équations différentielles du Second 



ordre peuvent être repréfentées par — di -+- f( — o, 

 li étant une fonction quelconque de x, y & -^— z= •£. 



Soit d-7 = —r- àx H ~ dy ; on changera de cette 



manière l'équation différentielle en une équation aux diffé- 

 rences partielles (A) . . . —£■ (- Z ~Y *"" ^ — °" 



On doit voir que toute folution de l'équation aux 

 différences partielles qui renfermera une confiante arbitraire r 

 fera une des intégrales premières complètes de l'équation 

 différentielle : une de ces folutions qui renfermeroit deux 

 confiantes arbitraires, donnerait , en fanant chacune de ces 

 confiantes fucceffxvement nulle, les deux intégrales premières 

 complètes de l'équation différentielle ; on en tireroit encore 

 l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles , 

 par la Méthode que M. de la Grange a donnée dans les 

 Mémoires de Berlin, de 1774. Mais de quelque manière 

 qu'on parvienne à intégrer complètement l'équation aux diffé- 

 rences partielles , on aura 1 p ar une équation qui renfermera 

 une fonction arbitraire ; il fera facile d'en tirer deux équa- 

 tions particulières, qui feront tes intégrales premières complètes 

 de l'équation différentielle. 



Le cas le plus fimpie efl celui où fi r= o , & où l'équa- 

 tion aux différences partielles a pour intégrale complète 

 y — x 1 -+- F: 1 =z o ; on en tire y — x % — a, ç. = b. 



