4<Î0 MÉMOIRES DE i/AcADÉMIE RoYALB 



on en tirera , par la comparaifon des termes homologues , 



dM „. dN p . . iM iN 1 M 



— — =z a. M, -r- = GM — -;—, & — - = yM % 



di ^l d x ' dx ' 



Donc M ■=. e fi : x, y e 



N =/>:*, y +fi:x,,fe*"*(Z- ^ d Z 



- ££Z.J."*ii -H &g£ff#*ii . d Z , 



m = e cp i : x, y j i : x, y, 



r r [ad 7 ,a ifadr , , 



e— <pz:x,y-+- <çi:x,yfi :x,yfe J (Z J^JH 



— l±^î^f e J * dt d Z + '•»"■£'"? {{e f * dl d Z .d Z . 



On aura de plus les deux équations 



- J7 = e yfi-*.y> -j7 — e yfi:x,y<çi:x,y, 



qui ferviront à déterminer les fondions <p i , <pz, fi, /s, 

 & à trouver les conditions d'intégrabilité. Ces conditions 

 feront les mêmes que ci-deffus ; & pour le cas dont il s'agit 

 ii.° 1 1 , ayant deux valeurs de xi qui fatisfaffent aux équations 

 qui renferment cette quantité, û on nomme Mi, Ni & 

 M 2. , Ni ce que deviendront M, N par les fubftitutions 

 fuccemves de ces deux valeurs, on trouvera pour l'intégrale 

 première complète de l'équation aux différences partielles dis 

 fecond ordre, 



Mi Z ' -\- Ni H- F: (Mif -+- NzJ = o. 

 (15.) Si l'on fait -^- d z ' js %", & qu'on repréfênte 



par B -\- F : K =: o , l'intégrale première complète de 

 l'équation aux différences partielles du troifième ordre , 



--t-n-iAr +311x7?-*-?- 



du' ' ■> v dx'dy ' J « dxdy- ' ^ dy 



dxdy ^^ <■ dy\ * ^^ <- dy 



M- s *'/&-*- i-^jT-l-*- t^jr-t-fi — oi 



