46*8 Mémoires de l'Académie Royale 

 d'où il fera facile de tirer 



V /•/ d.gir\:x,y d' .bir i :x , y 'J?ti:x, •>-,, 



*nx,y=zX-hf(s«i:x,y— dx y -\ j^ T ~)dy t 



-,,, f J.sir\:x,y d'.g-w\:x,y d>. bir i :*, y d*-* t : x , y . , 



Se comme ie fécond membre de celle-ci ne doit pas renfermer y, on aura 

 d.tHi d.sHi d'.gMt d>.bHi d*Hi , 



*~T} Tx *~ dx* ~7x~> H dx * J xt 



d.gHi d'.bffi d?Hx . . 



. „ d.bHi d*H* . „ 



— (bH\ — 4~^-J x'"i -+- Hix' v i — o,- 



L'une des trois équations que nous venons de trouver, donnera 

 x i ,- & les deux autres renfermeront les conditions d'intégra- 

 bilité; ces conditions auroient été fort différentes, û au lieu de 

 prendre K\ rrr i, on i'eût pris — £. Quoi qu'il en foit, ayantf 

 deux valeurs de x i , û on nomme Mi , N i Se. M2. , Nz , 

 ce que deviendront M , N, par les fubftitutions fucceffives 

 de ces deux valeurs, on aura pour l'intégrale première complète 

 de l'équation aux différences partielles du troifième ordre, 

 Mi z' -+- Ni -+- F:(Mz Z " -+- N2J — o. 



(18.) Ayant propofé l'équation d'un ordre quelconque 



— dZ -+- «• Z" -+- £ Z H- y =z o , et , C, y étant des 



fonctions de x ,y , z , z' . . . . ' Z ; fi on lui fuppofe pour inté- 

 grale première complète mZ -+- n -\~ F: (M Z-j-NJ — o g 

 on aura 



M=e'" J ' Z P,N=Q+fe' a * Z [fi-^J.P-lfjJZ, 



m-e Pp,n = Qq-^fe J [fi — Lj— ) . Pp — -jl-]JZ t 

 iN _ ,f**Z p »» J*d'Z D 



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