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Ou P , p , Q, q font des fondions arbitraires de x, y, 

 Z> z' "Z, & où D défigne une diffé- 

 rentielle prife par rapport à ces feules variables. Nous ne 

 poufferons pas plus loin ce calcul qui n'a aucune difficulté , 

 mais nous prions de remarquer que pour parvenir aux équa- 

 tions que nous avons nommées (r) & (A) , nous avons fait 

 l'hypothèfe la plus fimple, qu'il y en a une infinité d'autres 

 auiîi faciles à calculer , qui donneront autant de différentes 

 conditions d'intégrabilité. 



(10.) Nous remarquerons encore que pour fatisfaire aux 

 équations (r) , (A) elles-mêmes , nous avons donné à B & K 

 une forme très-limitée. Généralifbns cette fuppofition , & 



pour le fécond ordre prenons B =«£ h- », K= M-^ 



-*-yz"~ l -t-Pi*"* -±<ïz*~ : r +...-wN z U-!M 



tt étant un nombre entier pofitif , & m , n , M, N . . . 'M 

 'des fondions de x, y; alors l'équation (r) devient 



I /A/1 r dm n- / dn , dm I dn -, 



v dM TT-^l .dN dM -Tt ,dP dN tt—1 



-"'[-ïjz -^(-^ttJ-z -^(tj-^jjJ-z 



, à' M d' N , d'M , 



.... -+- / ■ f— * — ; — 1.7 — I ■ — n 



1 dy V dx f .< ^^ dx J ' 



'& donne néceffairement ce nombre tt -+- z d'équations , 



, , dm d AI 



tt M — m 







dy dy - ' 



— A4 / d " ~~' dm 1 / dN dM . -, , dm 



