tfo3 Mémoires de l'Académie Royale 

 Voilà donc une progreffion bien générale , dont chaque terme 

 eft le produit de deux coëfficiens de puifTances différentes 

 du binôme, dont le terme général peut être exprimé par la 



formule (—) •( ) , où mettant pour x fucceffivement 



les nombres 0,1,2,3,4, &c. jufqu'à ce qu'on parvienne 

 à des termes évanouifians , la fomme de toute cette progref- 

 fion fera infailliblement = ( ) ■=. ( ). C'eft 



1 p-i-m ' • n — p ' 



de-là que réfulte le Théorème que je vous ai communiqué, en 

 faifant m zzz. n , & p zzn o , de forte qu'il eft un cas infi- 

 niment plus particulier, que la férié que je viens de fommer 

 ici. Dans ce cas, on aura cette fommation , 



»• -*- r-r -h C-r -+- c~r -+- a» =p <^h. 



or cette formule développée donne 



2« m — 1 2 a — 2 2 n — ; » -t- f 



— — • ————— . — — — — — # — — — — . . « # g 



ce qui, comme il eft ailé à démontrer, eft égal à 



i « 19. » + *" — » 



Il eft fort remarquable que cette fommation a auffi lieu, fors 

 même que les expofans m & n font des fractions quelconques, 

 pourvu que par la voie d'interpolation , on puiiîè aifigner la 



jufte valeur de ( ) ; & fi le développement n'a pas lieu 



dans ce cas , il faut recourir à des formules intégrales : or 



pofant pour abréger / — = u , on aura toujours 



y «" -+- » i Ju m *"i x f de jr — 07 



' m -i- p ' Ju m +Tî) x .fu' ~?3* £ à jr = I j ' 



or, fi A marque un nombre entier pofitif quelconque , on fait 



qu'il y aura fu d x — 1 . 2 . 3 . 4 . . . A , & de-là on tirera 



fu dx zzz. (A -+- i)fu*dx, 



fu * dx =~ (A -+- 1 ) . (A -+- 2)[u*'àx, &c. 



& cette 



