SUR LA DÉFINITION DES PARALLELES. 45. 



thèse, et la Proposition i est applicable; donc la distance CD 

 doit égaler AB. En d'autres termes, si deux droites sont l'une 

 et l'autre perpendiculaires à une troisième, la distance d'un 

 point de l'une à l'autre est partout égale à la perpendiculaire 

 commune, comprise entre les deux droites. 



Proposition 3. 



Théorème. — Si deux droites ont une perpeiidicnlaire com- 

 mune, toute droite qui est perpendiculaire à l'une est aussi per- 

 pendiculaire à l'autî^e. 



Supposons que la droite AB soit une perpendiculaire com- 

 mune aux deux droites AM et BN, et que du point C on ait 



abaissé sur BN la perpendiculaire 



A c IVL_ ^ ^ 



CD. D'après l'hypothèse et la cons- 

 truction, les deux droites AB et CD 

 sont l'une et l'autre perpendiculaires 

 à BN, et CA n'est autre chose que 



^ ^ la distance du point C à la droite 



AB ; donc CA doit égaler BD (Proposition 2). Semblable- 

 ment, si l'on abaissait du point D une perpendiculaire sur 

 AM, elle devrait tomber au point C, et, par suite se confon- 

 dre avec celle qu'on a déjà abaissée de ce point sur BN. Donc, 

 si deux droites ont une perpendiculaire commune, toute 

 droite qui est perpendiculaire à l'une est aussi perpendicu- 

 laire à l'autre. 



Proposition 4. 



Théorème. — Si deux droites sont F une perpendiculaire et 

 l'autre oblique à une troisième, la distance d'un point de l'une 

 à Vaiiti'e deviejit nulle, quand on les prolonge suffisamment 

 dans un sens ou dans le sens contraire. 



Soit AM et BN deux droites dont l'une est perpendiculaire 

 et l'autre oblique sur AB. Premièrement, la distance d'un 



