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point de l'une à l'autre va en diminuant dans un sens (Pro- 

 position i); secondement, pour des prolongements égaux de 



l'une des droites, sa distance à l'autre 

 diminue de longueurs égales. En 

 effet, soit pris sur l'oblique AM deux 

 prolongements égaux, CD et DE, l'un 

 à la suite de l'autre, et soit CF, 

 DG, EH, les distances des points 

 C, D, E, à la droite BN ; si l'on mène par le point D la droite 

 10 perpendiculaire à DG, cette droite est aussi perpendicu- 

 laire à CF et EH (Proposition 3), et,de plus, IF = DG= OH 

 (Proposition 2). Les deux triangles ICD et OED ainsi formés 

 sont donc rectangles, ils ont l'hypoténuse égale, par construc- 

 tion, et leurs angles en D sont égaux comme opposés parle 

 sommet ; ces deux triangles sont donc égaux, et IG est égal 

 àOE. On en conclut que la différence CF — IF ou CF — DG 

 est égale à la différence OH — EH ou DG — EH ; en d'autres 

 termes, pour des prolongements égaux de l'une des droites, 

 sa distance à l'autre diminue de longueurs égales. Il en résulte 

 que cette distance devient nulle, quand on prolonge les deux 

 droites suffisamment dans le sens où leur distance va en di- 

 minuant. 



Remarque. A partir d'un point quelconque A, la longueur 

 totale de l'oblique, comprise entre ce point et le point de 

 rencontre des deux droites, contiendra la longueur arbitraire 

 CD autant de fois, au plus, qu'il y a d'unités dans le quotient 

 AB 



cr 



Conséquence. 



Pour justifier la définition des parallèles donnée par 

 Euclide, par Port-Royal ou par les Japonais, on observera 

 d'abord qu'il y a des droites satisfaisant à la condition expri- 

 mée dans chacune de ces définitions (Voir plus haut) : cela 



