SUR LA DEFINITION DES PARALLELES. " 47 



résulte, pour celle d'Euclide et de Port-Royal, de la Propo- 

 sition 2, et, pour celle des Japonais, d'une proposition anté- 

 rieurement démontrée. On en conclut premièrement que la 

 Jîgure définie est possible. 



Secondement, on démontrera que la figure définie est uni- 

 que en faisant voir, comme il suit, qu'on ne peut mener par 

 un point donné qu'une seule droite qui soit parallèle à une 

 droite donnée, selon la définition adoptée. 



i" Si l'on adopte la définition d'Euclide, il n'y a qu'une 

 seule droite qui passe par un point donné et qui ne rencontre 

 pas la droite donnée, savoir celle qu'on obtient en abaissant 

 du point une première perpendiculaire sur la droite et en éle- 

 vant du même point une seconde perpendiculaire à la pre- 

 mière. En effet, toute droite passant par ce point, autre que 

 la seconde perpendiculaire, est oblique à la première, et, par 

 suite, doit rencontrer la droite donnée, si on la prolonge suf- 

 fisamment dans un sens ou dans l'autre (Proposition 4). Donc, 

 on ne peut mener par un point donné qu'une seule droite qui 

 ne rencontre pas la droite donnée, selon la définition 

 d'Euclide. 



2" Si l'on choisit la définition de Port-Royal, le raisonne- 

 ment est le même; pourvu qu'on l'appuie sur la Proposition 

 I, au lieu de la Proposition 4. 



y Si l'on préfère la définition des Japo?iais, on remarquera 

 que, si une droite est parallèle à la droite donnée, d'après 

 cette définition, la parallèle et la droite donnée ont une per- 

 pendiculaire commune, et que, par suite, toute perpendicu- 

 laire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre (Proposition 3), 

 Il en résulte que, si l'on abaisse du point donné une perpen- 

 diculaire sur la droite donnée, toute droite qui, passant par 

 ce point, est parallèle à la droite, doit être en ce même point 

 perpendiculaire à celle qui a été abaissée sur la droite donnée. 

 Or, on ne peut mener par un point d'une 'droite qu'une seule 



