292 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



DÉFINITION. — Si l'on mène par un point d'un plan une 

 perpendiculaire à une droite donnée dans ce plan et diverses 

 obliques qui coupent la droite donnée de plus en plus loin de 

 la perpendiculaire, on finit par en trouver une qui ne coupe 

 pas la droite donnée, et qui jouit de cette propriété que, si 

 peu qu'on la ramène vers la perpendiculaire, elle devient 

 sécante à la droite donnée, tandis que, si peu qu'on l'éloigné 

 de la perpendiculaire, elle continue à rester non sécante à la 

 droite donnée : cette oblique est dite parallèle à la droite 

 donnée. 



D'après Euclide, cette parallèle fait avec la perpendiculaire 

 abaissée du point sur la droite un angle droit, quelle que soit 

 la distance du point à la droite, et elle est seule à jouir de 

 cette propriété de ne pas rencontrer la droite donnée ; de telle 

 sorte que, si peu qu'on l'incline vers la perpendiculaire d'un 

 côté ou de l'autre, elle devient sécante à la droite donnée par 

 elle-même ou par son prolongement. 



D'après les géomètres non euclidiens, cette parallèle à la 

 droite donnée fait avec la perpendiculaire abaissée du point 

 sur la droite un angle aigu, qu'ils nomment l'angle de parai- 

 lélisme et dont la valeur dépend de la distance du point à la 

 droite, et toutes les obliques qui font avec la perpendiculaire 

 un angle un peu plus grand que l'angle de parallélisme, mais 

 toujours moindre qu'un droit, jusque et y compris un droit, 

 ne coupent pas davantage la droite donnée, ni par elles-mêmes 

 ni par leurs prolongements; de telle sorte que, étant donné 

 un angle aigu quelconque a, il y a toujours sur l'un de ses 

 côtés, à une distance p, un point tel que la perpendiculaire 

 élevée en ce point sur ce côté rencontre l'autre côté de l'angle 

 et tel que les perpendiculaires élevées sur le même côté en 

 des points plus éloignés du sommet ne rencontrent pas 

 l'autre côté de l'angle. Si a devient nul, p tend vers l'infini; 

 si a devient droit, j:? tend vers zéro. 



