294 LA GEOMETRIE IMAGINAIRE. 



met A ne rencontrent pas le second côté de cet angle. Quelle 

 que soit la somme des trois angles du triangle AKL, si l'on 



imagine la droite AL prolongée au 

 delà du point L d'une longueur 

 arbitraire LL', ce qui est toujours 

 possible, et si l'on abaisse du point 

 L' sur AK la perpendiculaire L'K', 

 cette perpendiculaire tombera sur 

 AK en un point plus éloigné du sommet que le point K. En 

 effet, elle ne peut pas tomber en K, sans quoi il y aurait 

 deux perpendiculaires élevées par le même point K sur la 

 même droite AK ; elle ne peut pas tomber non plus entre 

 A et K, car, s'il en était ainsi, elle devrait rencontrer la droite 

 KL en un point, et, du point de rencontre, il faudrait qu'on 

 pût abaisser deux perpendiculaires sur la même droite AK; 

 donc elle tombera en un point K' plus éloigné du sommet 

 que le point K, et la perpendiculaire élevée au point K' ren- 

 contrera AL. Donc, il est impossible de trouver sur un côté 

 d'un angle aigu quel qu'il soit, à une certaine distance du 

 sommet, un point tel que la perpendiculaire élevée en ce 

 point sur un côté rencontre l'autre côté de l'angle, et tel que 

 les perpendiculaires élevées sur le même côté en des points 

 plus éloignés du sommet ne rencontrent pas l'autre côté de 

 l'angle. 



On en déduit que la définition non euclidienne des paral- 

 lèles est en défaut, puisqu'elle vise une figure qui n'existe pas 

 dans le fini, ni dans l'indéfini. 



Hypothèse. — Il y a deux théorèmes qui sont admis comme 

 incontestables par tous les géomètres, euclidiens ou non, sur 

 la somme des angles d'un triangle; ce sont les suivants : 



1° Dans aucun tr'uvigle, la somme des tt^ois angles fie peut 

 surpasser deux droits. 



2" Si la somme des angles est égale à deux droits dans un 

 seul triangle, elle l'est dans tous. 



