LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 29b 



La seule h3^pothèsc que les géomètres non euclidiens puis- 

 sent associer à leur définition est donc que la somme des trois 

 angles de tout triangle soit inférieure à deux droits. Mais, 

 quelle que soit l'hypothèse choisie, il ressort de la démons- 

 tration qui précède que toute perpendiculaire élevée sur un 

 côté d'un angle aigu doit rencontrer l'autre côté de cet angle. 

 Cette hypothèse est-elle plus acceptable que la définition ? 

 Premièrement, il est aisé de s'assurer que, si la somme 

 des trois angles est inférieure à deux droits dans tout trian- 

 gle, elle doit diminuer à mesure que la surface du triangle 

 augmente. Considérons en effet un triangle ACD, composé 

 p de deux autres triangles, ABC et BCD, 



et supposons que la somme des angles 

 égale 2'^ — £ dans le premier, et 2^ — t 

 dans le second ; dans le triangle total 

 A C ACD, la somme des angles est évidem- 



ment formée par celle des angles du triangle ABC, plus celle 

 des angles du triangle BCD, moins les deux angles en B qui 

 valent deux droits, ce qui donne pour cette somme : 



2'^ — £ 4- 2'' — c' — 2'' 



ou, en réduisant : 1^ — [z -\- e'); 



donc, si la somme des angles est inférieure à deux droits 

 dans tout triangle, elle doit diminuer à mesure que la surface 

 du triangle augmente. 



Remarquons que si le triangle BCD est égal a. ABC, on 

 aura s = s' ; par suite, la somme des angles est égale à 2'^ — s, 

 dans chaque triangle partiel, et à 2'^ — 2e, dans le triangle 

 total. 



Secondement, si dans un triangle la somme des angles est 

 inférieure à deux droits d'une quantité finie, quelque petite 

 qu'elle soit, cette somme doit diminuer indéfiniment, à mesure 

 que la suif ace du triangle augmente indéfiniment . 



Considérons un triangle quelconque ABC, dans lequel 



