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296 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



l'angle A est le plus petit angle aigu, et soit BH la hauteur 

 correspondante au plus grand côté AG. Si la somme des an- 

 gles est plus petite que deux droits dans tous les triangles, 

 elle le sera dans le triangle ABH ; représentons cette somme par 



. 2'^ — £, £ étant une quantité 

 positive, finie, aussi petite 

 qu'on voudra. Prenons HD 

 égal à AH, et menons BD ; 

 le triangle BHD ainsi cons- 

 truit est égal à ABH, et, par 

 suite, la somme de ses an- 

 gles est aussi égale à 2^ — e. 

 Il en résulte que, dans le triangle total ABD, cette somme 

 égalera 2'' — 2 e. 



Élevons au point D la perpendiculaire DE, qui rencontre 

 AB prolongé, puis prenons DF égal à AD, et menons EF; le 

 triangle EDF ainsi construit est égal à AED, et, par suite, la 

 somme de ses angles est la même que dans AED; mais, dans 

 le triangle AED, cette somme est plus petite que dans ABD, 

 d'après ce qui précède, c'est-à-dire plus petite que 2^ — 2e; 

 donc, dans le triangle EDF, elle est aussi plus petite que' 

 i'' — 2e. Il en résulte que, dans le triangle total AEF, cette 

 somme sera moindre que 2^ — 4s. 



En continuant de la sorte, on trouvera que, dans le triangle 

 AGK, la somme des angles est moindre que 2^' — 8e, et, en 

 général, que, dans le «• triangle ainsi construit, elle est moin- 

 dre que 2^^ — 2''e. Or, si petit que soit e, on peut toujours 

 pousser le nombre n des opérations assez loin pour que 

 nd — 2"e soit aussi petit qu^on le voudra. Donc, si dans un 

 triangle la somme des angles est inférieure à deux droits 

 d'une quantité finie, quelque petite qu'elle soit, cette somme 

 doit diminuer indéfiniment à mesure que la surface du triangle 

 augmente indéfiniment. 



