LA GÉOMKTRIF IMAGINAIRE. 297 



On conclut de là que, si l'on applique à un triangle quel- 

 conque la construction et le raisonnement précédents, on 

 devra obtenir, après un nombre limité d'opérations toutes 

 possibles, un triangle isocèle dans lequel les deux angles 

 à la base seront égaux l'un et l'autre à l'angle aigu du triangle 

 considéré au départ, et dans lequel la somme des trois angles 

 aura diminué indéfiniment, ce qui est absurde. Donc, dans 

 aucun triangle, la somme des trois angles ne peut être infé- 

 rieure à deux droits d'une quantité finie, quelque petite 

 qu'elle soit. 



L'hypothèse de la géométrie imaginaire n'est pas plus 

 acceptable que la définition ; car, d'une part, la définition ne 

 correspond à aucune figure possible, et, d'autre part, l'hypo- 

 thèse qui lui est nécessaire nous conduit directement à une 

 absurdité. 



Il semble qu'on n'ait pas étudié d'assez près la démonstra- 

 tion donnée par Lobatschewsky de son théorème 23 dans ses 

 Études géométriques. Cette démonstration, qui a pour but de 

 justifier la définition qu'il vient de poser, renferme au fond 

 une énorme faute de logique. L'auteur considère effective- 

 ment, ainsi que nous l'avons fait, un angle aigu A et une 

 série de triangles isocèles, analogues à ceux qui nous ont 

 servi, dans lesquels la somme des angles va en diminuant 

 autant qu'on le veut; mais, au lieu de s'arrêter comme nous 

 à la première absurdité qu'il rencontre et d'en conclure que 

 l'hypothèse qui en est la cause est elle-même absurde, il passe 

 outre, et il va jusqu'au point où la somme des angles devien- 

 drait négative, circonstance dans laquelle il est manifeste, 

 dit-il, qu'on ne peut pas former de triangle. Même arrivé là, 

 la seule conclusion qu'il soit permis de tirer est encore que 

 l'hypothèse conduisant à une telle impossibilité est absurde. 

 Cependant, il ne tire pas cette conclusion, qui supprimerait 

 sa théorie, mais il conclut conformément à son désir qu'il y 



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