298 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



a une perpendiculaire limite entre les perpendiculaires plus 

 voisines du sommet A qui rencontrent AL et les perpendicu- 

 laires plus éloignées qui ne rencontrent pas AL. Cette consé- 

 quence inattendue n'a absolument aucun lien rationnel avec 

 l'hypothèse qu'il a faite, elle ne résulte en aucune façon de la • 

 démonstration qu'il a donnée ; elle constitue donc une énorme 

 faute de logique, qui méritait d'être signalée. 



Les propositions que Lobatschewsky démontre en suite 

 paraissent déduites rigoureusement de sa définition et de son 

 hypothèse. Puisqu'elles ont intéressé, à ce titre, la curiosité 

 des géomètres, il importe de savoir comment elles résultent 

 de son faux principe, c'est-à-dire si elles en sont des consé- 

 quences nécessaires ou si elles sont simplement possibles. Or, 

 il ne paraît pas qu'on doive sans réserve les accepter comme 

 nécessaires; si l'on continue en effet à raisonner, dans le fini 

 et dans l'indéfini, en se défendant de toute illusion, on trou- 

 vera que la plupart de ces propositions conduisent à une con- 

 clusion double, dont les deux termes sont contradictoires et 

 pourtant inséparables au point de vue de la logique. 



Prenons comme exemple la proposition 32 des Etudes 

 géométriques, qui est formulée ainsi : (.< Un cercle dont le 

 rayon va en croissant se change en une courbe limite ». Cette 

 proposition devra être remplacée, pour être rigoureusement 

 vraie, par cette autre : 



« Dans V hypothèse et la définition de la géojnétrie imagi- 

 naire, un cercle tangent à une droite, et dont le rayon augmente 

 indéfiniment, doit avoir pour limite la tangente au cercle et 

 7i' avoir pas pour limite la tangente au cercle. » 



Considérons un cercle quelconque de rayon OA et la tan- 

 gente au point A; par un point B, pris sur la tangente, 

 menons une droite BCC qui fasse avec AB un angle égal à 

 l'angle de parrallélisme, correspondant à la distance AB, et 

 qui rencontre le cercle considéré au point C, puis joignons 



