300 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



prend la conclusion totale, comme la logique l'exige, les deux 

 termes forment ensemble une contradiction ; par suite, l'hy- 

 pothèse non euclidienne qui mène à une semblable contra- 

 diction est absurde. 



Le même raisonnement appliqué à la sphère nous condui- 

 rait à la même conclusion. 



Les déductions qui se tirent de l'hypothèse et de la défini- 

 tion, c'est-à-dire du principe même de la géométrie imagi- 

 naire, ne sont donc pas des conséquences nécessaires de ce 

 principe, qui est faux : ce qui résulte nécessairement de ce 

 principe, c'est la contradiction ou l'absurde. D'excellents géo- 

 mètres ont d'ailleurs reconnu et signalé déjà l'impossibilité 

 d'accorder une multitude d'autres conséquences du principe 

 de la géométrie imaginaire, et même de tout principe non 

 euclidien, avec les vérités primordiales qui précèdent le pos- 

 tulatum d'Euclide. Il n'y a donc qu'une seule géométrie qui 

 soit vraie, dans le fini et l'indéfini, avant comme après la 

 théorie des parallèles, c'est la géométrie séculaire d'Euclide, 

 d'Arnauld, de Descartes et de Legendre. 



II 



Ce qui suit a pour but de montrer que, dans ses dévelop- 

 pements aussi bien que dans son principe, la géométrie 

 imaginaire n'a de général que les apparences, et qu'au fond 

 elle est tout le contraire de ce que doit être la géométrie 

 générale. 



On comprend très bien que des théorèmes puissent être 

 vrais pour des figures finies et indéfinies, et ne Têtre pas 

 pour des figures infinies ; il suffit pour cela que les définitions 

 sur lesquelles ils reposent ne comportent pas elles-mêmes une 

 telle extension. On comprend de même 'que des théorèmes 



