LA GKOMKTRIR IMAGINAIRE. 3oi 



soient vrais dans le fini et TinJéfîni, et que ces théorèmes 

 restent vrais sans changement d'énoncé dans l'infini, si les 

 définitions dont ils dépendent sont susceptibles d'une sem- 

 blable généralisation. Mais, ce qu'on ne saurait comprendre, 

 ni surtout qualifier de géométrie générale, c'est une suite de 

 propositions qui seraient fausses dans le fini et l'indéfini, et 

 qui ne deviendraient vraies dans l'infini qu'à la condition d'in- 

 venter pour leur usage un infini d'une espèce particulière 

 dont la conception est impossible. En d'autres termes, pour 

 qu'une proposition soit générale, il faut d'abord qu'elle soit 

 vraie dans le fini et l'indéfini, c'est-à-dire qu'elle corresponde 

 à une figure sensible ou imaginable , puis ensuite qu'elle 

 s'étende dans l'infini rationnel par la conception, avec ou sans 

 changement d'énoncé : c'est en cela que consiste toute la 

 généralisation possible de la géométrie pure, et, hors de là, 

 il n'y a que fantaisie, caprice, chimère. 



Existe-t-il une géométrie générale, c'est-à-dire une géomé- 

 trie dont les théorèmes soient vrais, quand on les applique à 

 des figures finies et indéfinies, et restent vrais, lorsqu'il 

 s'agit de figures infiniment grandes, avec ou sans changement 

 d'énoncé? C'est là une grave question, à laquelle j'imagine 

 que Leibniz avait projeté de répondre dans cet ouvrage dont 

 nous n'avons malheureusement que le titre : « De Scientia 

 infiniti ». Gauss nous apprend qu'il a aussi dirigé ses propres 

 méditations sur ce point, mais sans en fixer aucune dans un 

 écrit. On trouve bien dans une lettre qu'il adresse à Schu- 

 maker, en date du 12 juillet i83i, cette phrase remarquable : 

 « Il n'y a rien absolument de contradictoire à dire que, si l'on 

 donne les points A et B et la direction AC, G pouvant s'éloi- 

 gner indéfiniment, alors, bien que l'angle DBG s'approche 

 de plus en plus de l'angle DAG, il n'en est pas moins impos- 

 sible d'abaisser la diflerence de ces angles au-dessous d'une 

 certaine grandeur finie ». Et un peu plus loin : « Dans le lan- 



