302 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



gage figuré de la théorie de l'infini, on devrait dire que les 

 circonférences de deux cercles infinis, dont la différence des 

 rayons a une longueur finie, diffèrent elles-mêmes d'une 

 longueur qui est à chacune d'elles dans un rapport fini ». 



Si l'on rapproche de ces deux passages les considérations 

 sur le plan, la ligne droite et les angles, par lesquelles Louis 

 Bertrand a commencé sa géométrie élémentaire (2*' volume du 

 Développement des mathémat.^ Genève, 1778), on est amené 

 à remarquer que, dans les premières définitions mathémati- 

 ques et particulièrement dans celle de l'angle, il y a une res- 

 triction qui leur est habituellement imposée, et que cette res- 

 triction enferme les conclusions de la géométrie euclidienne 

 dans le fini et l'indéfini, c'est-à-dire dans le cercle des figures 

 qui ont des dimensions aussi petites ou aussi grandes qu'on 

 le veut, mais non pas infinies. Les traités classiques les plus 

 complets n'ont jamais franchi ce cercle des figures finies ou 

 indéfinies, jusqu'à l'apparition de la géométrie imaginaire \ ce 

 qui légitime suffisamment le bruit qui s'est fait autour de 

 cette ingénieuse nouveauté. 



Mais la géométrie imaginaire, nous l'avons vu, s'appuie 

 sur un principe qui est précisément faux dans le fini et l'indé- 

 fini; il n'y a aucun triangle, si grand qu'on l'imagine, dans 

 lequel la somme des angles soit inférieure à deux droits d'une 

 quantité finie aussi petite qu'on voudra. Y en a-t-il d'infinis? 

 Lobatschewsky répond lui-même (théorème 23) que, si un 

 triangle augmente indéfiniment, la somme de ses angles 

 diminue jusqu'à zéro et devient négative, ce qu'il trouve 

 absurde. Que peut-on dès lors raisonnablement attendre dans 

 l'infini d'une série de propositions, basées sur une absurdité 

 dans le fini et l'indéfini, même en admettant que ces proposi- 

 tions soient bien déduites ! Evidemment, il n'y a aucun 

 théorème de la géométrie imaginaire qui soit vrai pour des 

 figures infiniment grandes, par cela même qu'ils sont tous 

 faux pour des figures finies et indéfinies. 



