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PoLirra-t-on espérer, par contre, qu'en donnant aux pre- 

 niières dciînitions euclidiennes toute l'extension qu'elles com- 

 portent, on obtiendra une géométrie générale et complète ? 

 Mais, si la géométrie d'Euclide est la seule qui soit vraie dans 

 le fini et l'indéfini, toutes ses parties et tous ses développe- 

 ments se tiennent par un enchaînement rigoureux et inéluc- 

 table qui ne permet pas d'en rien retrancher, et, de même 

 qu'il n'y a aucun triangle fini dans lequel la somme des an- 

 gles soit inférieure à deux droits, de même il n'y en a aucun 

 dans lequel cette somme surpasse deux droits. 



Par conséquent, il ne reste qu'une seule supposition qui 

 soit compatible avec le maintien des vérités anciennes, les- 

 quelles sont toutes nécessaires, et qui puisse en même temps 

 laisser le champ libre à l'imagination des géomètres, pour des 

 recherches nouvelles et plus générales. Cette supposition, 

 dont l'étendue n'a pas encore été mesurée, est le contraire 

 même du principe de la géométrie imaginaire ; elle consiste 

 à admettre que la somme des angles d'un triangle, tout en 

 restant égale à deux droits pour les triangles finis et indéfinis, 

 devienne non pas plus petite que deux droits — c'est impos- 

 sible — , mais plus grande que deux droits dans les triangles 

 infinis. 



Une semblable supposition est-elle justifiable? Il suffit de 

 reprendre la définition de l'angle, telle qu'on la rencontre au 

 début de la science, d'en supprimer les limites restrictives 

 imposées par l'usage et par la nécessité de se borner dans les 

 Éléments, puis de faire après cette extension des raisonne- 

 ments qui soient indépendants de tout postulatum. Il est 

 clair que les résultats ainsi obtenus seront absolument cer- 

 tains et formeront une géométrie vraiment générale ; tout ce 

 qu'ils confirmeront devra être accepté et ce qu'ils contrediront 

 rejeté. 



Rappelons d'abord qu'on attache au mot d\viglc cinq ou 



