LA GKOMÉTRIE IMAGINAIRE. 3o5 



2° Sur une sphère, la surface sphcrique comprise entre deux 

 arcs de grand cercle qui se coupent et entre leurs prolonge- 

 ments ; 



3° Dans l'espace, le volume compris entre deux plans qui 

 se coupent et entre leurs prolongements. 



Il n }'■ a d'ailleurs aucune difficulté à passer de l'angle entier 

 ainsi envisagé à l'angle ordinaire, puisqu'il se compose de 

 deux angles ordinaires, opposés par le sommet, qui sont iden- 

 tiques. Il n'y en aura pas non plus provisoirement à égaler 

 des quantités infinies, les additionner, les soustraire , les mul- 

 tiplier ou diviser par un nombre fini, puisque le but même 

 qu'on se propose est de découvrir certains rapports entre ces 

 quantités infinies. 



Cela posé, il est facile de démontrer par la seule vue des 

 propriétés de l'espace les trois propositions suivantes : 



Théorème i. — La somme des trois angles entiers d'un 

 triajigle sphérique est égale à la surface de la sphère, plus 

 deux fois la surface du triangle. 



Ce théorème est démontré à peu près dans les mêmes ter- 

 mes dans les Éléments de Legendre et dans les Études de 

 Lobatschewsky. 



Théorème 2. — La somme des trois dièdres entiers d'un 

 trièdre est égale à quatre dièdres droits, plus deux fois le vo- 

 lume du trièdre. 



Théorème 3. — La somme des trois angles entiers d'un 

 triangle rectiligne est égale à quatre droits, plus deux fois la 

 surface du triangle. 



Dans l'énoncé de ces théorèmes, l'angle droit dont il est 

 question, dièdre ou plan, est l'angle ordinaire, et, si l'on dési- 

 gne par A, B, C, les trois angles ordinaires d'un triangle rec- 

 tiligne, par t la surface de ce triangle et par^i l'angle droit, le 

 théorème 3 donne la relation suivante : 



2A-f 2B+2C = 4''-}-2/OU A + B + C = 2^+/, 



