3o6 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



laquelle est vraie pour tous les triangles, finis et indéfinis, infi- 

 niment petits et infiniment grands. 



Ces propositions générales permettent de formuler plusieurs 

 remarques importantes : 



1° L'analogie complète des trois propositions montre qu'il 

 ne peut pas y avoir de contradiction, comme on en rencontre 

 dans la géométrie imaginaire, entre les propriétés des figures 

 dans l'espace, sur la sphère et dans un plan, quand on se 

 borne à la considération des triangles finis ou indéfinis. 



2° Dans deux triangles rectilignes équivalents, finis ou 

 indéfinis, la somme des angles est la même ; ce qui suffit à 

 anéantir l'hypothèse de la géométrie imaginaire. 



3° Dans un triangle sphérique et dans un trièdre, la somme 

 des angles n'est pas constante; car les trois termes de la rela- 

 tion générale ont une valeur qui est finie dans le premier cas, 

 et qui est infinie dans le second. 



4" Dans un triangle rectiligne, fini ou indéfini, la somme 

 des trois angles est constante et égale à deux droits; en effet, 

 la surface du triangle est finie ou indéfinie, tandis que les deux 

 autres termes de la relation sont infinis, et, si l'on admet 

 avec tous les géomètres qu'une surface finie ou indéfinie est 

 nulle, absolument nulle, lorsqu'on la compare à une surface 

 infinie, on voit que l'addition de la surface du triangle à l'un 

 ou à l'autre des deux premiers termes n'empêche pas leur 

 rapport d'égalité, que la géométrie imaginaire accorde seule- 

 ment pour les triangles infiniment petits. 



5° On peut appliquer les trois propositions au cas où la 

 figure prend des dimensions infinies, puisque la définition 

 adoptée pour l'angle est générale. Supposons, par exemple, 

 qu'un triangle ABC ait une base finie AB et que les deux 

 côtés AG et BG deviennent infinis. Ges deux côtés ne se ren- 

 contrent pas, car, s'ils se rencontraient, il y aurait quelque 

 chose au delà de leur point de rencontre, et ils ne seraient 



