LA GKOMKTRir IMACINAIRE. Zoj 



pas infinis; ils déterminent ainsi une bande infinie, à base 

 finie, qui représente le double de la 

 surface du trianf^le et aussi l'angle en- 

 tier 2C du triangle. Si Ton supprime, 

 dans la relation générale, C d'un côté et / 

 ~Â' de l'autre, il reste l'égalité : A4-B=2'^ 

 qui Justifie tous les théorèmes de la géo- 

 métrie euclidienne relatifs aux parallèles 

 coupées par une sécante (les parallèles étant des droites qui, 

 menées par deux points différents dans un plan, ne se ren- 

 contrent pas), et qui justifie aussi le passage cité plus haut de 

 la correspondance de Gauss, en nous montrant deux angles 

 CAB et CBA' qui sont égaux et qui pourtant diffèrent l'un 

 de l'autre de la valeur d'une bande infinie, à base finie. Si 

 l'on remarque, en outre, avec Bertrand, de Genève, qu'une 

 bande parallèle infinie, à base finie, est infiniment petite par 

 rapport à un angle quelconque, attendu qu'on peut en cons- 

 truire autant qu'on le veut dans cet angle, sans le recouvrir 

 entièrement, on pourra encore négliger le terme t dans la 

 relation générale, et dire que la somme des trois angles du 

 triangle infini considéré est égale à deux droits. 



Supposons que la base AB du triangle ABC devienne elle- 

 même infinie comme les deux côtés du triangle, en s'allongeant 

 d'abord dans un sens, puis dans les deux sens opposés, 

 l'angle entier 2C ou la bande demeure toujours identique au 

 double de la surface du triangle, et vaut d'abord deux droits, 

 puis quatre droits. On aura toujours l'égalité : A-|-B=2'^, qui 

 laisse subsister dans l'infini les théorèmes euclidiens sur les 

 parallèles coupées par une sécante. Quant à la somme 

 A+B-j-C des trois angles du triangle, elle devient égale b. 

 3 droits, puis à 4 droits. 



G** Si l'on cherche ce que donne le théorème 2 relatif aux 

 angles dièdres d'un trièdrc, lorsque le sommet se transporte 



