3o8 LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE. 



à l'infini, lorsqu'une des trois arêtes ou les trois arêtes s'éloi- 

 gnent à l'infini, on trouve des propriétés analogues à celles qui 

 viennent d'être indiquées, c'est-à-dire des théorèmes qui, dans 

 le fini et l'indéfini, confirment la géométrie d'Euclide que nous 

 connaissons, et d'autres qui nous font connaître ce qu'elle doit 

 être dans l'infini. 



Je ne m'y arrête pas. Ce que j'ai voulu démontrer, c'est 

 que la géométrie imaginaire est un essai très hardi mais 

 spécieux de géométrie générale, fort capable de dérouter la 

 raison, et qu'en retournant dès le début ce foyer de vérités 

 renversées, les géomètres clairvoyants pourront en tirer des 

 rayons de vive lumière. Ce qui se découvre immédiatement 

 et doit être accepté comme vérité générale, c'est que la somme 

 des trois angles d'un triangle n'est dans aucun cas inférieure 

 à deux droits. Il y a effectivement une différence entre la 

 somme des angles d'un triangle et deux angles droits, mais 

 cette différence est en faveur de la somme qui excède deux 

 droits d'une quantité égale à la surface du triangle. 



Cet excédant^ comparé à la somme, est absolument nul 

 dans tous les triangles finis ou indéfinis ; ce qui revient à dire, 

 en employant la langue du calcul infénitésimal, que l'excès 

 de la somme des angles d'un triangle sur deux angles droits 

 est un infiniment petit, non pas du premier ordre, mais du 

 second ordre. Il devient du premier ordre, dans les triangles 

 qui ont deux côtés infinis et une base finie. Enfin, il est de 

 même ordre que la somme, dans les triangles qui ont leurs 

 trois côtés infinis. 



