340 ÉTUDE SUR LES SURFACES. 
d'indiquer les suivantes que je développe dans mes cours 
depuis fort longtemps. Pour abréger, je me contenterai sou- 
vent d'écrire la première ligne du déterminant en la faisant 
précéder du signe 2. 
Désignons par w l’angle de contingence et par P le rayon de 
courbure d’une courbe plane. Si l’on mène par un même 
point deux lignes infiniment petites ds, ds’ représentant deux 
arcs élémentaires consécutifs, la ligne qui joint leurs extré- 
mités a pour projections sur des axes quelconques d?x, d?y. 
On aura donc 
ds? dx ñ dx 
— —= (ds, ds’) — sin xy 
; dy, dy 
En coordonnées polaires, si l’on prend pour axes le rayon 
vecteur et une perpendiculaire à ce rayon, il viendra 
dr , dr—rdf 
e rd9 , =d(r*' di) 
S1 l’on considère une courbe gauche, on aura facilement le 
carré de l’axe (ds, ds”) au moyen de la remarque du numéro 2. 
40. — Pour avoir l’angle + de deux plans osculateurs infi- 
niment voisins on n’a qu’à mener trois tangentes infiniment 
voisines sur lesquelles on prend des longueurs égales à 
l'unité. Le parallépipède que l’on peut former avec ces trois 
arêtes aura pour expressions, à un infiniment petit du qua- 
trième ordre près : 
