344 ÉTUDE SUR LES SURFACES. 
on sait que M'P est du troisième ordre. Donc il faudra que 
l'angle P soit un infiniment petit du premier ordre. 
Pour avoir le rayon R de cette sphère dite osculatrice for- 
mons un parallélipipède avec R, et des longueurs égales à 1 
prises sur la tangente et la normale principale. En appelant 
0 l'angle que fait le plan osculateur avec la section normale à 
la sphère menée suivant la tangente en M à la courbure, on 
aura 
dx 
d— 
RE Et dx as 
SIL0 — —_4,) — 
A ds ONE 
Nous avons vu que l’on avait 
dx 
dx ds FLE 
AS Vo TAN 
OH 
D'où l’on déduit, par la multiplication de ces deux déter- 
minants, 
R sin 0. w? — wdp 
Or on a évidemment Rcosô—p 
; ! ï ds? 
Par suite R= 8 + | + 
Remarque. — Le plan osculateur infiniment voisin de celui 
que nous avons mené passe en M' et coupe le précédent sui- 
vant la tangente en M à la courbe. Ce plan fera donc, avec la 
section normale à la sphère un angle égal à 0 + d6 ou 6H. 
Par conséquent de la relation KR cos0 —% on déduit 
Ras 4-4) Lot Rene ee 
Q 
