346 ÉTUDE SUR LES SURFACES. 
Les formules de M. Serret ne sont que l’expression analy- 
tique de ces deux relations. 
En effet, désignons par «, 6, y les angles que fait la tan- 
gente avec trois axes rectangulaires, mettons l’indice ; pour 
la normale # et l’indice , pour l’axe k . La direction de 
dh°—% étant celle de la normale # ,on a, en projetant sur 
l'axe des, 
d COS a — 9 COS 
et de n° — résulante de w et o, (les positions de w et de 
9 ayant été bien définies par les symboles) on déduit en pro- 
jetant seulement sur l’axe des x, 
d COS a — — (w COS x + ? COS %) 
On démontrerait de même que si l’on mène par un même 
point des parallèles à trois tangentes consécutives et infini- 
ment voisines et que l’on prenne sur ces tangentes des lon- 
sueurs égales à l'unité 2, 19,4, 7,1 l'élément quiqJoimeltes 
extrémités de #°, et /°, est égal à wg. 
15.—  Équation différentielle d'une surface. 
La courbe représentée par les équations 
a = (XP x) , do = f{Âx,S; x) 
engendrera une surface s’il existe une relation entre les para- 
mètres a, et @o. 
Quelle que soit cette relation, on peut exprimer que les 
normales menées en un même point de la courbe d’intersec- 
tion aux surfaces f, et f, et à la surface cherchée f sont dans 
