358 ÉTUDE SUR LES SURFACES. 
(15) S—=——— 
En conservant les mêmes notations on trouve 
I I Le ( y ) I I 
ri To R; R; 
Or x —« est l’angle V des deux directions ds , ds’ que 
je suppose disposées comme R, par rapport à R, . 
I I ; ae 
Re € R> sont les courbures alternées des sections princi- 
fl 2 
pales, dont la somme a été trouvée nulle. Il en résulte que 
l'expression 
reste constante pour deux directions quelconques prises autour 
du point o , dans le plan fixe (”). 
Cette remarque a été faite par Sturm dans le cas particulier 
où les directions sont rectangulaires, et M. Bertrand a démon- 
tré analytiquement que cette constante ne peut être nulle que 
lorsque l’axe mobile est normal à une surface. 
Je me propose d'arriver géométriquement au même résul- 
tat en considérant le cas plus général où je me suis placé. 
30. — Je remarque d’abord que si l’axe mobile parcourt la 
(*) Ce résultat important aurait pu se déduire de l’équation (13) que 
l’on peut mettre sous la forme 
