360 ÉTUDE SUR LES SURFACES. 
bile ne confondra, dans son déplacement infiniment autour 
du point o , avec la normale à une surface. 
Lignes de courbure. 
31. — Pour avoir les directions où l’axe mobile rencontre 
l’axe fixe, il suffit de développer l'équation (ds, dh°) — o. 
Si on remplace ds et 3h° par leurs composantes respec- 
tives, on a, pour deux directions rectangulaires quelconques, 
I I ds? ds? 
(re) ds", en) asds,( — =) + — _ 
" 9 
rs 
Si on dirige les axes suivant les bissectrices des sections 
principales (n° 29), l'équation qui doit donner les lignes de 
courbure devient 
IS ANS 
LA à 
Ce qui donne 
ds, fe 
(19) = 
ds, ri 
Il existe donc deux directions réelles ou imaginaires, comme 
l'a fait observer M. Bertrand. 
J'ajouterai qu’elles sont symétriques par rapport aux bissec- 
trices des sections principales, et si on appelle à , # les 
rayons de courbure qui leur correspondent, il est évident 
qu’une section normale à la direction (+,) aura une courbure 
égale à — et réciproquement. On voit donc à priori que l’on 
Pa 
4 
aura 
