ÉTUDE SUR LES SURFACES. 365 
entre l’arc ds et la ligne de courbure qui a la plus grande 
courbure. 
Prenons, en effet, des axes de coordonnées dirigés suivant 
les lignes de courbure Pb, et + (l'indice 1 est toujours sup- 
posé à gauche de l'indice 2). L’axe (ds, ôh°) est la résultante 
des deux axes (ds, , &h°) et (ds, , 8,h°) dirigés en sens in- 
verse l’un de l’autre. Il est évident que le sens de l’axe résul- 
tant sera le même que celui du plus grand des axes compo- 
sants. — Or, on a 
(ds ER) ne sin W 
(dss , Qh = — _. sin W 
l 
É I I À 
Si donc on a. par exemple, — > — ,l’axe (ds , ôh°) sera 
9 9 A p 3) 
En 2 
dirigé comme (ds, , à,h°) . Avec un peu d'attention on voit 
que cette remarque renferme la démonstration du théorème. 
Supposons un observateur placé sur l’axe, les pieds en o ; 
si ds est compris entre les deux lignes de courbure, à,h° est 
à gauche de ds, et par conséquent 84° doit être aussi, à 
gauche de ds . Doncil sera entre ds et la ligne bp, . 
Si on suppose ds dans l’angle supplémentaire de gauche, 
par exemple, à,h° sera à droite de ds, , et, par conséquent, 
dh° devant être aussi à droite de ds , sera compris entre cet 
élément et la ligne de plus grande courbure. Le théorème est 
donc démontré. 
37. — Dans le cas particulier où l'axe est normal à une sur- 
face, M. Bertrand a démontré que si l’on prend deux arcs 
ds , ds’ se coupant à angle droit, les normales menées aux 
