368 ÉTUDE SUR LES SURFACES. 
oA ne peut évidemment pas être une ligne de courbure. 
Donc pour que l'angle dièdre reste le même il faut que l’une 
des normales voisines tombe à l’in- 
À térieur et l’autre à l'extérieur. Nous 
+ |- mettrons le signe + pour le pre- 
mier cas et le signe — pour le 
deuxième. 
Mais tout angle droit contenant 
une ligne de courbure, il faudra 
que les angles AoA, , AoA, aient 
chacun un même signe. 
Donc il faudra que dans l’inté- 
rieur de A,oA, il y ait deux signes 
différents, sans cela les angles dièdres oA, , oA, ne reste- 
raient pas constants. 
Donc dans l’intérieur de l'angle V 1l y aura zéro ou 
deux lignes de courbure (n° 38). 
Corollaire I. — Si l'angle V est égal à un droit, il faudra 
nécessairement que OA, et oA, soient les deux lignes de 
courbure de la surface f et des lignes de courbure par rap- 
port aux deux autres. — C’est le théorème de Dupin sur les 
surfaces orthogonales. 
Corollaire IT. — Les normalies correspondant à deux cour- 
bes qui se coupent à angle droit ne pourront se couper sous 
un angle constant que dans le cas où ces courbes sont les 
lignes de courbure. 
44. — Je terminerai ce travail en donnant, pour le cas où 
l'axe est normal à une surface, l’expression analytique du pro- 
