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(I) Die Definition jeder Grundoperation muss die Coefficienten 

 ihres w-fach complexen Kesultates durchwegs als reelle 

 Zahlen bestimmen. 



(II) Sie muss flir n:=z 1 die bekannten Eigenschaften derselben 

 Grundoperation in ibrer Anwendung-auf einfach complexe 

 Zahlen liefern. 



(Ill) Die Summe und das Product zweier beliebiger w-fach com- 

 plexerZalilen miissen commutativ bleiben — sich gewisser- 

 massen von selbst darbieten, wahrend die vierte Forderung 

 erst dureb die nachstehenden einfachen Uberlegungen be- 

 grundet wird. 



Sind allgemein: 



Zj = r<„ + a, /j + . . . + a„i,„ Zg ■= />„ + />, /\-i- . . . -\-hnin 



die beideuZahlen, welche durch irgendeine der verallgemeinerten 

 algebraischen Grundoperationen verkniipft werden sollen, so 

 bleiben die Grossen: a^^, 0^, 



Uq 6(, + ^/, />,+... + a,> h„ ■=: m, Va^ -{- (i\ + . . . -i- aj, = i\ , 



sammtlicben complexen Specialisirungen von Z, , Z^ zu- 

 geordnet, wahrend sich die Coefficienten: a^ by ; (i^ , b^;... a,,, b^ 

 speciell auf /, , respective i^,. . ./„ beziehen. In Hinblick hierauf 

 liegt also die Forderung nahe, die betrefFende. Grundoperation 

 derart zu definiren, dass auch im Resultate derselben die Grossen: 

 ftj , by lediglich in m, i\, r^ und dem Coefficienten von i^, ferner 

 rtg, 62 ausschliesslich in m, r, , i\ und dem Coefficienten von 

 i^,...u„, bn nur in m, i\, i\ und dem Coefficienten von /„ 

 auftreten, wahrend «^, b^^, m, r^, i\ an kein einziges specielles 

 Unterscheidungszeichen gebunden sind, also mdglicher Weise in 

 alien Coefficienten des Resultates vorkommen. Auf diese Art 

 besitzt das letztere, sobald die vierte Forderung befriedigt wird, 

 allgemein die Form: 



/o(«..' ^' ^^h r^, r^) + f\i(iQ, <ii, />o' f'v ^^h '>\, i\)>t + 

 -+-AK' ^'2.' '^? f'2^ ^> ^\^ ^\)h+ • • ■ +A K; f^n, bf„ b,„ m, r^, r^)i„ 



