65 



Das zweite Problem handelt von der Summatiou 

 einiger endlicher Reiheu iind deren Anwendimg zur Darstelluug 

 derwtenPotenzen von cos.r und siiur als Ag-g-regate gleichartiger 

 Functionen ganzer Multipla des Bogens x. 



Von der identischen Gleicliung : 



1 ^i-n+y 



l-f-a^'-(-.^'^-l- . . -f-^" = — — ^^ 



1 — X 



ansgehend, gelangt man durch deren wmalige Derivation, fiir 

 schliesslich + z setzend, zimaehst zu den beiden Summen- 



1 — w 

 formeln 





n\^,_^ 



{z-^iy'+^—i 



jk) (n -+- l)z 



und 



^tdZ(ny^i-ii-^y-' 



k = o 



k) {n^^l)z 



Hieraus ergeben sich durch die Substitution von cos 53 

 -h-i sin f fiir z 4 weitere Eeihensummirungen : 



'c=n , f2 COS L|""*''cosfc^^ — COS9 



Vj^ (-] COS k. == i 'd -i 1 



*=w . 2 cos -^ sm - — ^^^— I- sm 9 



4^k-^l\k 



^^ ^ ( — l)"-^i 2 sm ^ cos ^^ -J — -f- cos f 



''^'fe^ri|-^*^= ^ — '—^1 



'c = o 



^=n (— l)«+i 2 sm -^ sm ^ ^^ ^ 



— sm 



-1 



