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J appellerai avec M. delaGmngG, intégrales particulières, 

 des relations entre les variables qui, dans certains cas , satis- 

 font aux équations différentielles , sans être comprises dans 

 leurs intégrales complètes. AinsiVé(\uat\onx cl x-^jdj= 

 j^^/(x^_l_ j^ — b^), a pour intégrale complète j" = 

 2ax-i-a^ — ^% a étant la constante arbitraire ; elle a en 

 méme-tenqDS pour intégrale particulière j"- ^= ^^ — x" ; la 

 première appartient à la parabole , la seconde au cercle. Il 

 est donc évident que l'intégrale particulière n'est point ren- 

 fermée dans l'intégrale complète, et cependant elles satisfont 

 toutes deux également à l'équation différentielle. 



I/existence des intégrales particulières étant ainsi consta- 

 tée, il importe de remonter à leur source, et de chercher 

 a priori comment il est possible de satisfaire à une équation 

 différentielle donnée autrement que par son Intégrale com- 

 plète. Cette recherche nous fera découvrir le caractère 

 distinctif des intégrales particulières , d'où résultera une 

 métliode très-simple de déterminer ces intégrales, par la seule 

 connoissance de l'équation différentielle. 



Soit - - =p une équation du premier ordre , dans laquelle 

 p est fonction de x et / ; soit j = ^(x, a) l'intégrale com- 

 plète de cette équation , a étant la constante arbitraire. La 

 même formule ^(x, a) pourra représenter toute autre 

 fonction de x, pourvu qu'on prenne a variable ; elle pourra 

 donc représenter l'intégrale particulière, c'est-à-dire, la 

 valeur dej, quelle quelle soit, qui satisfait à l'équation 

 différentielle, sans être comprise dans la formule <S^{x,a) 

 tant qu'on suppose a constant. 



• Je différentie l'équation j = (^{x,a), en faisant varier 

 xet a , et j'ai un résultat de la forme 



dy = Vdx -+- Kda. 



Les coëffîciens P et A seront des fonctions de a: et a ; 

 mais au moyen de l'équation j = <^ (x, «) , on peut imagi- 



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