zT)0 MÉMOIRES DE l'AcADÉMIE 



équau'on qui s'accorde avec la valeur de p , et qui est par 

 conséquent riutégrale particulière de ré(|uatioii (ù'). 



Mais cette iri'tëgrale particulière , qu'on pourroit appeller 

 de la seconde espèce , ne satisfait point à l'équation du second 

 ordre ])roposée ; elle n'est donc, par rapport à celle-ci , ni 

 intéi^rale particulière , ni intégrale incomplète. 



C'est une espèce de paradoxe , qu'il est bon d'éclaircir , 

 que l'équation (a'), ayant pour inlégrale particulière (^'), 

 et celle-ci ayant de nouveau pour intégrale parliculière(c'), 

 l'équation (c'} ne satisfait pas à la proposée ( a' ). En voici la 

 raison a priori. 



L équation (Z*') réduite à la forme finie (Z/"), donnera en 

 général 



j = F (x, a), 



a étant la constante arlitraire. Et puisque l'équation (h') 

 satisfait à la proposée, il fiut que celle-ci devienne iden- 

 tique, en y substituant, au lieu de j' , ;t7 , (j , les valeurs 



T-, <^F ddF 



par cette substitution a et x dispafoîtront en même tems. 



Si nous considérons maintenant a comme variable, afin 

 que ré([uation y = F (a.-, a) représente l'intégrale particu- 

 lière (c') , il faudra qu'on ait 



et les équations y = F , p = -j- , d'où résulte l'équation 

 (b') par l'élimination de a, resteront les mêmes. Il n'en sera 

 pas ainsi de 1 équation ^ = -j^ ; car j^ étant maintenant 

 une fonction de ,x et a , on aura , dans le cas de a variable , 



rff/F JdF d. 



